Kenalan dulu, yuk!

Lima janji Mathpedia

Cara belajar di Mathpedia

Setiap bab mengikuti alur yang sama. Kamu akan memahami, mengaplikasikan, lalu merefleksikan, sesuai semangat Pembelajaran Mendalam yang berkesadaran, bermakna, dan menggembirakan.

Pilih jalur belajarmu

Tangga 6 level soal

Peta isi buku

Selaras dengan kurikulum

Rujukan: Capaian Pembelajaran 2025 (Keputusan Kepala BSKAP No. 046/H/KR/2025). Label "gaya IGCSE/IB/olimpiade" menunjukkan tingkat dan format soal, bukan soal resmi.

1.1Matematika adalah ilmu tentang pola

Kalau ditanya "matematika itu apa?", banyak orang menjawab "berhitung". Padahal berhitung hanyalah salah satu alatnya. Para matematikawan suka menyebut matematika sebagai ilmu tentang pola: pola bilangan, pola bentuk, pola gerak, sampai pola dalam permainan.

Gampangnya, pola itu seperti lagu yang reffnya diulang-ulang. Kalau kamu sudah tahu aturannya, kamu bisa meneruskannya sendiri tanpa melihat contekan.

Sekarang kembali ke lebah. Bayangkan kamu harus menutup lantai dengan ubin berbentuk segi banyak beraturan yang sama semua, tanpa celah dan tanpa tumpang-tindih. Di setiap titik pertemuan, sudut-sudut ubin harus berjumlah tepat 360°. Coba sendiri, segi berapa saja yang berhasil?

1.2Pola tumbuh: bilangan segitiga dan bilangan persegi

Ingat kelereng Dimas? Susunan segitiganya berisi 1, 3, 6, 10, … kelereng. Bilangan-bilangan ini disebut bilangan segitiga. Kalau kelerengnya disusun membentuk persegi, kamu mendapat 1, 4, 9, 16, … yang disebut bilangan persegi. Keduanya adalah barisan: daftar bilangan yang tersusun menurut aturan, dan setiap anggotanya disebut suku.

Berapa titik pada pola segitiga ke-100? Menjumlahkan \(1 + 2 + 3 + \dots + 100\) satu per satu tentu melelahkan. Ada trik yang jauh lebih cantik: gandakan, lalu bagi dua.

1.3Fibonacci dan rasio emas: matematika yang tumbuh di kebun

Pada tahun 1202, seorang pedagang dari Pisa, Italia, bernama Leonardo (kini dikenal sebagai Fibonacci) menulis buku hitung Liber Abaci. Di dalamnya ada teka-teki kelinci: sepasang kelinci muda menjadi dewasa dalam sebulan, lalu setiap bulan sepasang kelinci dewasa melahirkan sepasang anak. Banyak pasangan kelinci dari bulan ke bulan adalah 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … Setiap bilangan adalah jumlah dua bilangan sebelumnya!

Coba hitung spiral pada nanas, sisik buah pinus, atau biji bunga matahari. Kamu sering menemukan dua bilangan Fibonacci berurutan, misalnya 8 dan 13 pada nanas, atau 34 dan 55 pada bunga matahari. Banyak bunga juga berkelopak 3, 5, atau 8. Tidak selalu, tetapi cukup sering sehingga para ilmuwan menelitinya sungguh-sungguh. Rahasianya ada pada sudut putar setiap biji baru.

Bayangkan kamu menaruh biji satu per satu sambil berputar. Kalau putarannya "pecahan sederhana" seperti setengah atau sepertiga putaran, biji-biji akan menumpuk di jalur yang sama dan menyisakan ruang kosong. Sudut emas adalah putaran yang paling "tidak sederhana", jadi biji menyebar rata dan bunga bisa memuat biji sebanyak-banyaknya.

Sekarang bagi setiap bilangan Fibonacci dengan bilangan sebelumnya: \(2 : 1 = 2\), \(3 : 2 = 1{,}5\), \(5 : 3 \approx 1{,}667\), \(8 : 5 = 1{,}6\), \(13 : 8 = 1{,}625\), … Hasilnya bergoyang naik-turun, tetapi makin dekat ke bilangan istimewa yang disebut rasio emas:

Hebatnya, kamu boleh memulai dengan dua bilangan apa saja. Asalkan setiap suku adalah jumlah dua suku sebelumnya, rasionya tetap menuju \(\varphi\). Buktikan sendiri:

1.4Empat langkah Polya: resep memecahkan masalah

Bagaimana matematikawan menghadapi soal yang belum pernah mereka lihat? Mereka tidak langsung tahu jawabannya! Mereka mencoba, keliru, mencoba lagi, dan memakai sebuah "resep". Resep paling terkenal ditulis oleh George Pólya dalam empat langkah.

Ringkasnya: baca baik-baik, pilih cara, kerjakan pelan-pelan, lalu cek lagi. Kalau macet, kecilkan dulu soalnya. Hampir semua matematikawan melakukannya, termasuk yang paling hebat.

1.5Menebak, menguji, membuktikan

Penemuan matematika biasanya berjalan dalam tiga tahap. Pertama, kita menebak sebuah pola dari beberapa contoh; tebakan seperti ini disebut dugaan (konjektur). Kedua, kita menguji dugaan itu dengan contoh-contoh baru. Ketiga, kita membuktikan bahwa dugaan itu benar untuk semua kasus. Dugaan yang sudah terbukti naik pangkat menjadi teorema.

Contoh: jumlahkan bilangan ganjil berturut-turut dari 1.

Tebak: hasilnya selalu bilangan persegi, \(n^2\). Uji: sepuluh bilangan ganjil pertama, \(1 + 3 + \dots + 19 = 100 = 10^2\). Cocok lagi! Tetapi sepuluh contoh belum tentu berlaku untuk sejuta contoh. Kita butuh bukti. Lihatlah kotak-kotak ini tumbuh:

Apakah setiap pola yang "kelihatan benar" pasti benar? Tebak dulu sebelum mencoba Lab Mini berikutnya!

Bahkan gambar pun bisa menipu. Perhatikan teka-teki terkenal ini: sebuah persegi \(8 \times 8\) dipotong menjadi empat bagian, lalu disusun ulang menjadi persegi panjang \(13 \times 5\). Padahal \(8 \times 8 = 64\), sedangkan \(13 \times 5 = 65\). Dari mana datangnya satu kotak tambahan?

1.6Matematika dalam pekerjaan dan teknologi

Di balik layar ponselmu, di kantor BMKG, sampai di bengkel batik, matematika bekerja diam-diam. Hampir semua pekerjaan memakai siklus yang sama: amati pola, buat model (aturan atau rumus), lalu ramalkan apa yang akan terjadi. Di dunia komputer ada satu kebiasaan berpikir yang sangat penting: berpikir komputasional, yaitu memecah masalah menjadi langkah-langkah kecil yang teratur dan bisa diulang, seperti resep. Contoh paling seru adalah permainan tebak angka.

Mengapa Ancil selalu menepati janjinya? Dengan 1 tebakan kamu hanya bisa menangani 1 bilangan. Dengan 2 tebakan: tebak di tengah, lalu masih ada 1 bilangan di kiri dan 1 di kanan, jadi 3 bilangan. Dengan 3 tebakan: 7 bilangan. Polanya 1, 3, 7, 15, 31, …: kali dua, lalu tambah satu.

2.1Garis bilangan: rumah bagi bilangan negatif

Bayangkan termometer yang direbahkan. Angka 0 di tengah. Ke kanan ada 1, 2, 3, … yang makin hangat. Ke kiri ada −1, −2, −3, … yang makin dingin. Inilah garis bilangan: setiap bilangan punya tempat, dan jarak antara dua bilangan yang berurutan selalu sama.

Gampangnya: tanda minus di depan angka artinya "di bawah nol" atau "kurang dari nol". Suhu −3 °C artinya 3 derajat di bawah nol. Utang Rp 5.000 bisa ditulis −5.000, karena uangmu "kurang dari kosong".

Bilangan negatif muncul di banyak tempat: suhu di puncak Jayawijaya, utang di warung, lantai bawah tanah di mal, dan kedalaman laut. Semuanya memakai titik nol sebagai patokan: titik beku air, saldo kosong, lantai dasar, atau permukaan laut. Lihat garis bilangan tegak berikut, dari dasar laut terdalam di Indonesia sampai puncak gunung tertingginya.

2.2Menjumlah dan mengurang: lompat katak dan koin pasangan nol

Penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat bisa dibayangkan sebagai seekor katak yang melompat di garis bilangan. Katak itu mula-mula berdiri di bilangan pertama dan menghadap ke kanan (arah positif). Aturannya hanya dua:

• Tanda operasi menentukan arah hadap. Tanda + berarti tetap menghadap ke kanan; tanda − berarti katak berbalik menghadap ke kiri.
• Tanda bilangan kedua menentukan cara melangkah. Bilangan positif berarti maju; bilangan negatif berarti mundur (melompat ke belakang).

Contoh \(-3 + 5\): katak berdiri di −3, menghadap ke kanan, lalu maju 5 lompatan dan mendarat di 2. Itulah jawaban teka-teki suhu Dieng! Sekarang coba sendiri.

Cara kedua memakai koin. Koin kuning bernilai +1 dan koin merah bernilai −1. Sekeping kuning dan sekeping merah bersama-sama bernilai 0; pasangan ini disebut pasangan nol. Menambah atau membuang pasangan nol tidak mengubah nilai, seperti menambah 0.

2.3Perkalian dan pembagian: misteri aturan tanda

Perkalian adalah penjumlahan berulang: \(3 \times (-4) = (-4) + (-4) + (-4) = -12\). Tiga kali berutang Rp 4.000 berarti berutang Rp 12.000. Lalu bagaimana dengan \((-3) \times (-4)\)? Kita tidak bisa "menjumlahkan sebanyak −3 kali". Kita perlu ide lain, yaitu pola.

Cara mudah mengingat: tanda sama (+ dan +, atau − dan −) hasilnya positif; tanda beda hasilnya negatif.

Ada cara lain melihat aturan tanda: gambarlah tabel perkalian sebagai titik-titik pada bidang koordinat. Semua titik \(a \times x\) ternyata berbaris pada satu garis lurus.

Pembagian adalah kebalikan perkalian. \((-12) : 3 = -4\) karena \(3 \times (-4) = -12\), dan \((-12) : (-3) = 4\) karena \((-3) \times 4 = -12\). Karena itu aturan tandanya sama persis dengan perkalian.

2.4Urutan operasi: siapa yang dikerjakan duluan?

Bila satu soal memuat beberapa operasi, semua orang harus sepakat tentang urutannya. Kalau tidak, satu soal bisa punya banyak jawaban, dan kalkulator di seluruh dunia akan saling berselisih!

2.5Nilai mutlak dan jarak

Kadang kita tidak peduli arah, hanya peduli seberapa jauh. Penyelam di kedalaman 30 m dan burung elang di ketinggian 30 m sama-sama berjarak 30 m dari permukaan laut.

Nilai mutlak artinya "berapa langkah dari nol", tidak peduli ke kiri atau ke kanan. Jadi, tanda minusnya cukup dibuang: \(|-9| = 9\).

2.6Sifat-sifat operasi dan pola bilangan bulat

Bilangan bulat mengikuti beberapa "aturan main" yang selalu berlaku. Aturan ini membuat hitungan panjang bisa disusun ulang menjadi hitungan pendek.

Untuk penjelajah: karena memenuhi sifat-sifat di atas, himpunan \(\mathbb{Z}\) beserta operasi + dan × disebut sebuah gelanggang (ring) dalam aljabar abstrak. Banyak struktur lain, seperti polinomial dan matriks, ternyata juga gelanggang, sehingga trik hitung di bab ini berlaku juga di sana.

Sekarang sebuah pola yang cantik. Berapa \(-10 + (-9) + \dots + 11 + 12\)? Setiap bilangan negatif bertemu lawannya dan saling menghapus, sehingga yang tersisa hanya \(11 + 12 = 23\). Rumus Hidup berikut menghitung jumlah bilangan bulat berurutan dengan cara Gauss: jumlahkan suku pertama dan terakhir, kalikan dengan banyak suku, lalu bagi dua.

3.1Apa itu pecahan? Bagian, pembagian, dan titik

Bilangan bulat dari Bab 2 cocok untuk menghitung benda utuh: 3 martabak, 4 orang, −5 °C. Padahal hidup penuh dengan benda yang tidak utuh: separuh gelas teh, seperempat kilo cabai, tiga perempat martabak. Untuk itulah manusia menciptakan pecahan.

Satu pecahan punya tiga wajah yang sama pentingnya.

• Bagian dari keseluruhan. Sepotong lapis legit punya 20 lapis tipis. Kalau kamu mengupas dan memakan 7 lapis teratas, kamu memakan \(\tfrac{7}{20}\) potongan itu.
• Hasil bagi. \(\tfrac{a}{b} = a : b\). Tiga martabak dibagi empat orang: setiap orang mendapat \(3 : 4 = \tfrac34\) martabak. Inilah jawaban teka-teki di akhir Bab 2!
• Titik di garis bilangan. Bagi jarak 0 sampai 1 menjadi empat bagian sama panjang. Tanda ketiga adalah \(\tfrac34\). Di antara dua bilangan bulat ternyata ada banyak sekali "penghuni".

Gampangnya: penyebut (angka bawah) = martabaknya dipotong menjadi berapa. Pembilang (angka atas) = berapa potong yang kamu ambil. Satu syarat penting: semua potongan harus sama besar.

3.2Pecahan senilai: beda potongan, sama banyak

Ambil separuh martabak. Potong separuh itu menjadi dua: kamu memegang 2 potong dari 4, yaitu \(\tfrac24\). Potong lagi: 4 potong dari 8, yaitu \(\tfrac48\). Martabak di tanganmu tidak bertambah sedikit pun! Pecahan-pecahan yang nilainya sama seperti ini disebut pecahan senilai.

Kebalikan dari memperbanyak potongan adalah menyederhanakan: membagi pembilang dan penyebut dengan bilangan yang sama. Pecahan berada dalam bentuk paling sederhana jika pembilang dan penyebutnya tidak lagi punya faktor persekutuan selain 1. Cara tercepat: bagi keduanya dengan FPB (faktor persekutuan terbesar) yang akan kamu kuasai di Bab 4.

Membandingkan pecahan. Jika penyebutnya sama, bandingkan pembilangnya: \(\tfrac58 > \tfrac38\). Jika pembilangnya sama, yang penyebutnya lebih kecil justru lebih besar: \(\tfrac16 > \tfrac18\). Jika keduanya berbeda, samakan dulu penyebutnya, atau pakai trik berikut.

3.3Operasi pecahan: menjumlah, mengali, membagi

Menjumlah dan mengurangkan. \(\tfrac14 + \tfrac24 = \tfrac34\): satu potong seperempat ditambah dua potong seperempat menjadi tiga potong seperempat. Penyebutnya tetap 4 karena ukuran potongannya tidak berubah. Lalu bagaimana dengan \(\tfrac12 + \tfrac13\)? Ukuran potongannya berbeda, jadi harus disamakan dulu: potong ulang keduanya menjadi perenaman. \(\tfrac12 = \tfrac36\) dan \(\tfrac13 = \tfrac26\), sehingga jumlahnya \(\tfrac56\).

Gampangnya: kamu tidak bisa menjumlahkan 1 potong besar dan 1 potong kecil lalu menyebutnya "2 potong". Samakan dulu ukuran potongannya (penyebut), baru hitung banyak potongannya (pembilang).

Mengalikan. "\(\tfrac23\) dari \(\tfrac34\) kue" berarti \(\tfrac23 \times \tfrac34\). Apa hasilnya? Jangan menghafal dulu. Lihat bukti tanpa kata ini.

Membagi. \(3 : \tfrac14\) bertanya: "ada berapa potong seperempat di dalam 3 martabak?" Setiap martabak berisi 4 potong, jadi 3 martabak berisi 12 potong. Maka \(3 : \tfrac14 = 3 \times 4 = 12\). Membagi dengan pecahan sama dengan mengalikan dengan kebalikannya (pembilang dan penyebut ditukar).

3.4Desimal dan pecahan berulang

Desimal adalah cara menulis pecahan berpenyebut 10, 100, 1000, dan seterusnya dengan koma. Setiap angka di belakang koma punya nilai tempat: persepuluhan, perseratusan, perseribuan.

Sebaliknya, untuk mengubah pecahan menjadi desimal, bagi pembilang dengan penyebut: \(\tfrac38 = 3 : 8 = 0{,}375\). Kadang pembagiannya berhenti, seperti \(\tfrac14 = 0{,}25\). Kadang tidak pernah berhenti: \(\tfrac13 = 0{,}333\ldots\) dan \(\tfrac17 = 0{,}142857\,142857\ldots\)

Mengapa pasti berulang? Saat membagi dengan 7, sisanya hanya bisa 0, 1, 2, 3, 4, 5, atau 6. Kalau sisa 0 muncul, pembagian berhenti. Kalau tidak, sisanya hanya punya 6 pilihan (1 sampai 6). Jadi paling lambat pada langkah ketujuh pasti ada sisa yang muncul untuk kedua kalinya, dan sejak itu semua langkah terulang persis sama. Kesimpulannya: setiap pecahan menjadi desimal berhenti atau desimal berulang.

Bagaimana kalau kita ingin berjalan mundur, dari desimal berulang ke pecahan? Ada trik geser koma yang cantik.

Bilangan yang dapat ditulis sebagai \(\tfrac ab\) disebut bilangan rasional. Dari pembahasan di atas: bilangan rasional selalu berdesimal berhenti atau berulang, dan sebaliknya setiap desimal berhenti atau berulang adalah bilangan rasional. Bilangan seperti \(\sqrt2 = 1{,}41421356\ldots\) dan \(\pi = 3{,}14159265\ldots\) desimalnya tidak berhenti dan tidak berulang. Mereka disebut irasional (Bab 6 dan Bab 35).

3.5Persen: bahasa diskon, pajak, dan zakat

Mana yang lebih besar, \(\tfrac{7}{20}\) atau \(\tfrac{9}{25}\)? Sulit menjawabnya sekilas. Bagaimana jika keduanya diubah ke penyebut 100? \(\tfrac{7}{20} = \tfrac{35}{100}\) dan \(\tfrac{9}{25} = \tfrac{36}{100}\). Sekarang jelas! Penyebut 100 begitu berguna sampai diberi nama dan lambang sendiri.

Bayangkan kertas berpetak \(10 \times 10 = 100\) kotak. 30% berarti 30 kotak dari 100 kotak itu. 100% berarti semua kotak, alias seluruhnya. 50% berarti separuhnya.

3.6Persen naik-turun dan persen balik

Berita sering menulis "harga cabai naik 40%" atau "harga tiket turun 15%". Persentase perubahan selalu dibandingkan dengan nilai lama:

Ada cara yang lebih sakti untuk menghitung perubahan persen: ubah setiap perubahan menjadi sebuah faktor pengali.

Sekarang kebalikannya. Di etalase tertulis: "Harga setelah diskon 20%: Rp120.000". Berapa harga sebelum diskon? Rp120.000 itu adalah 80% dari harga awal. Jadi 1% \(= 120.000 : 80 = 1.500\) dan 100% \(= 150.000\). Dengan faktor pengali: harga awal \(= 120.000 : 0{,}8 = 150.000\). Cara berjalan mundur ini disebut persen balik (reverse percentage).

3.7Pecahan Mesir dan jumlah teleskop

Ingat trik Ancil di komik? Ia membagi 3 martabak untuk 4 orang sebagai \(\tfrac12 + \tfrac14\) per orang, bukan \(\tfrac14 + \tfrac14 + \tfrac14\). Pecahan berpembilang 1 seperti \(\tfrac12\) dan \(\tfrac14\) disebut pecahan satuan. Menulis pecahan sebagai jumlah pecahan satuan yang berbeda-beda adalah kebiasaan bangsa Mesir kuno.

Sekarang perhatikan pola kecil ini: \(\tfrac12 - \tfrac13 = \tfrac16 = \tfrac{1}{2 \times 3}\) dan \(\tfrac13 - \tfrac14 = \tfrac{1}{12} = \tfrac{1}{3 \times 4}\). Secara umum,

Akibatnya, penjumlahan panjang bisa "dilipat" seperti teropong. Suku-suku di tengah saling menghapus:

Jumlah seperti ini disebut jumlah teleskop. Hasilnya selalu sedikit kurang dari 1, dan makin dekat ke 1 saat \(n\) bertambah.

4.1Faktor dan kelipatan: dua sisi perkalian

Perhatikan perkalian \(3 \times 4 = 12\). Kalimat ini bisa dibaca dari dua arah. Dari arah kiri: 3 dan 4 adalah pembentuk 12. Dari arah kanan: 12 adalah hasil dari mengalikan 3 (atau 4) dengan bilangan asli. Dua cara membaca ini melahirkan dua istilah penting.

Gampangnya begini. Kamu punya 12 permen dan ingin membaginya rata ke beberapa teman tanpa sisa. Kamu bisa membaginya ke 1, 2, 3, 4, 6, atau 12 orang. Itulah faktor 12. Sementara itu, kalau setiap bungkus berisi 4 permen, banyak permen di 1, 2, 3, … bungkus adalah 4, 8, 12, …. Itulah kelipatan 4.

Ada cara yang sangat menyenangkan untuk "melihat" faktor: susunlah ubin. Dua belas ubin persegi bisa disusun menjadi persegi panjang \(1 \times 12\), \(2 \times 6\), atau \(3 \times 4\). Setiap sisi persegi panjang itu adalah faktor 12. Coba sendiri di lab berikut, lalu cari bilangan yang keras kepala: bilangan yang hanya mau disusun menjadi satu baris panjang.

Kalau kamu mendaftar faktor sambil berpasangan, terlihat pola yang indah. Hubungkan setiap pasangan yang hasil kalinya \(n\) dengan busur, dan jadilah sebuah pelangi faktor.

4.2Bilangan prima dan saringan Eratosthenes

Di lab ubin tadi, kamu pasti menemukan bilangan keras kepala seperti 2, 3, 5, 7, 11, dan 13. Bilangan itu hanya bisa disusun menjadi satu baris. Faktornya cuma dua: 1 dan dirinya sendiri.

Cara mudah mengingatnya: bilangan prima adalah bilangan yang "tidak bisa dibagi rata" kecuali menjadi 1 kelompok besar atau kelompok berisi 1. Contohnya 7 kelereng: tidak bisa dibagi rata ke 2, 3, 4, 5, atau 6 anak.

Bagaimana menemukan semua prima sampai 100 tanpa memeriksa satu per satu? Seorang ilmuwan Yunani memberi resep yang sangat cerdik: jangan cari primanya, buang yang bukan prima. Coret 1. Lingkari 2, lalu coret semua kelipatan 2. Bilangan terkecil yang tersisa (3) pasti prima. Lingkari, lalu coret kelipatannya. Ulangi. Yang tidak pernah tercoret adalah bilangan prima.

4.3Faktorisasi prima: pohon faktor

Air tersusun dari atom hidrogen dan oksigen. Garam dapur tersusun dari atom natrium dan klorin. Dalam dunia bilangan, "atomnya" adalah bilangan prima: setiap bilangan komposit bisa dipecah terus sampai tinggal bilangan prima. Memecah bilangan menjadi perkalian bilangan prima disebut faktorisasi prima.

Alat yang paling menyenangkan untuk itu adalah pohon faktor. Tulis bilangannya di atas, pecah menjadi dua faktor, lalu pecah lagi setiap cabang yang belum prima. Cabang berhenti tumbuh ketika sampai di bilangan prima: itulah daun-nya.

Faktorisasi prima juga membuka rahasia banyak faktor. Ambil \(72 = 2^3 \times 3^2\). Setiap faktor 72 dibentuk dengan memilih pangkat 2 (yaitu 0, 1, 2, atau 3: ada 4 pilihan) dan pangkat 3 (0, 1, atau 2: ada 3 pilihan). Susun semua pilihan itu dalam tabel:

Tabel \(4 \times 3\) itu memuat semua faktor 72, masing-masing tepat sekali. Jadi 72 punya \(4 \times 3 = 12\) faktor. Inilah aturan umumnya: tambah 1 pada setiap pangkat, lalu kalikan.

4.4FPB dan KPK: membagi rata dan bertemu lagi

Ingat lampu kedip di komik? Waktu ketika dua lampu menyala bersamaan adalah kelipatan dari kedua selang kedipnya. Ada pula soal kebalikannya: membagi beberapa barang ke dalam kelompok yang sama persis, yang membutuhkan faktor dari semua bilangannya. Dua jenis soal ini punya dua alat.

Mendaftar memang ampuh untuk bilangan kecil, tetapi melelahkan untuk bilangan besar. Cara yang lebih cerdas memakai faktorisasi prima. Tonton animasi berikut: setiap bola adalah satu "atom" prima.

4.5Ciri habis dibagi: detektif tanpa kalkulator

Koperasi sekolah menerima 7.416 buku tulis. Bisakah buku itu dibagi rata ke 9 kelas? Tanpa membagi panjang, jawabannya bisa diketahui dalam tiga detik: jumlahkan angka-angkanya. \(7 + 4 + 1 + 6 = 18\), dan 18 habis dibagi 9. Jadi bisa! Berikut daftar ciri yang paling berguna.

Versi gampangnya: kalau jumlah angka sebuah bilangan habis dibagi 3, bilangan itu habis dibagi 3. Kalau jumlah angkanya habis dibagi 9, bilangan itu habis dibagi 9. Contoh: 126 → 1 + 2 + 6 = 9, jadi 126 habis dibagi 3 dan juga habis dibagi 9.

4.6Prima tak berhingga dan kode rahasia

Makin jauh kita melangkah, prima makin jarang. Dari 1 sampai 100 ada 25 prima, tetapi dari 901 sampai 1.000 hanya ada 14. Apakah suatu saat prima akan habis, sehingga ada "prima terbesar"? Sekitar tahun 300 SM, Euclid menjawab: tidak pernah. Buktinya pendek dan sangat cerdik.

Prima juga menjaga rahasiamu. Mengalikan dua prima itu mudah: \(89 \times 97 = 8.633\) bisa dihitung dalam satu menit. Kebalikannya jauh lebih sulit. Coba temukan dua prima yang hasil kalinya 8.633 tanpa kalkulator! Untuk bilangan ratusan angka, komputer tercepat pun butuh waktu yang sangat lama. Ketimpangan "mudah dikalikan, sulit difaktorkan" inilah fondasi banyak sistem kriptografi (ilmu penyandian) yang melindungi pesan, mobile banking, dan transaksi digital.

5.1Rasio: membandingkan dengan cara membagi

Dimas punya 12 kelereng, Ayu punya 4. Ada dua cara membandingkannya. Dengan mengurangi: "Kelereng Dimas 8 butir lebih banyak." Dengan membagi: "Kelereng Dimas 3 kali kelereng Ayu." Cara kedua inilah yang disebut rasio atau perbandingan.

Rasio itu seperti resep. "Gula dan tepung 2 : 3" artinya setiap 2 sendok gula dipasangkan dengan 3 sendok tepung. Kalau gulanya 4 sendok, tepungnya 6 sendok. Angkanya boleh membesar, asalkan pasangannya tetap seimbang.

Rasio juga bisa membandingkan lebih dari dua besaran. Adonan kue dengan tepung : gula : mentega = 4 : 2 : 1 berarti tepungnya dua kali gula, dan gulanya dua kali mentega. Dua rasio yang nilainya sama, seperti 2 : 3 dan 4 : 6, disebut rasio senilai.

Soal rasio yang paling sering muncul dalam kehidupan adalah membagi menurut rasio: membagi uang, hasil panen, atau tugas secara adil sesuai kesepakatan. Kuncinya, ubah rasio menjadi bagian-bagian yang sama besar. Model batang di bawah ini membuatnya terlihat jelas.

5.2Skala: dunia yang dikecilkan

Teka-teki di akhir Bab 4 menyinggung peta berskala 1 : 250.000. Saatnya membongkar artinya. Peta, denah rumah, dan maket adalah gambar dunia nyata yang diperkecil dengan rasio yang sama ke segala arah. Rasio itu disebut skala.

Bayangkan dunia dimasukkan ke "mesin pengecil" yang mengecilkan semuanya 250.000 kali. Satu langkah kakimu (±50 cm) di peta itu hanya 0,0002 cm, jauh lebih tipis daripada sehelai rambut! Sebaliknya, 8 cm di peta Dimas mewakili 20 km di dunia nyata.

5.3Perbandingan senilai: naik bersama, rasionya tetap

Di pasar, harga beras Rp 14.000 per kg. Dua kg harganya Rp 28.000, tiga kg Rp 42.000. Setiap kali beratnya dikali 2, harganya juga dikali 2. Pasangan besaran seperti ini disebut perbandingan senilai (berbanding lurus).

Kalau pasangan \((x, y)\) yang senilai digambar di bidang koordinat, titik-titiknya selalu berada pada garis lurus yang melewati titik asal O. Mengapa harus lewat O? Karena 0 kg beras harganya Rp 0!

5.4Perbandingan berbalik nilai: yang satu naik, yang lain turun

Sebuah rumah sederhana membutuhkan pekerjaan sebanyak 120 orang-hari: satu tukang butuh 120 hari, dua tukang 60 hari, empat tukang 30 hari. Makin banyak tukang, makin sedikit harinya, tetapi hasil kali keduanya selalu 120.

Bayangkan sekotak kue yang dibagi rata. Makin banyak temanmu yang ikut makan, makin sedikit kue yang kamu dapat. Banyak teman dikali 2, bagianmu dibagi 2. Kuenya sendiri tidak berubah: itulah "hasil kali yang tetap".

Kurva lengkung yang muncul di Lab Mini tadi disebut hiperbola. Rahasianya terlihat jelas di Grafik Hidup berikut: dari titik mana pun pada kurva, persegi panjang yang ditarik ke sumbu-sumbu selalu sama luasnya.

5.5Laju: kecepatan, debit, dan harga satuan

Rasio biasanya membandingkan besaran yang sejenis. Bagaimana kalau jenisnya berbeda, misalnya kilometer dan jam, atau rupiah dan kilogram? Hasil baginya disebut laju, dan satuannya selalu memuat kata "per".

Kereta cepat Whoosh Jakarta–Bandung dirancang melaju hingga ±350 km/jam, hampir 100 m setiap detik! Panjang jalurnya ±142 km. Seandainya kereta itu bisa melaju 350 km/jam dari awal sampai akhir tanpa berhenti, perjalanannya hanya ±24 menit. Kenyataannya perjalanan lebih lama, karena kereta perlu mempercepat, memperlambat, dan berhenti di stasiun. Coba hitung sendiri dengan Rumus Hidup ini.

Laju juga menjadi kunci soal kerja bersama. Rahasianya: jangan menjumlahkan waktunya, tetapi jumlahkan lajunya.

5.6Variasi langsung dan invers: keluarga y = kxⁿ

Senilai (\(y = kx\)) dan berbalik nilai (\(y = \tfrac{k}{x}\)) ternyata kakak-beradik dalam satu keluarga besar. Di kurikulum internasional seperti IGCSE dan IB, keluarga ini disebut variation.

Soal variasi gaya IGCSE selalu bisa diselesaikan dengan tiga langkah: (1) tulis bentuk umumnya, misalnya \(y = kx^2\); (2) cari \(k\) dari pasangan data yang diketahui; (3) pakai rumus lengkapnya untuk nilai yang ditanyakan.

6.1Pangkat: perkalian berulang yang meledak

Setiap kali kertas dilipat, banyak lapisannya menjadi dua kali lipat: 1, 2, 4, 8, 16, … Setelah 5 lipatan ada \(2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32\) lapis. Menulis "2 × 2 × 2 × …" sebanyak 42 kali tentu melelahkan. Maka matematikawan membuat singkatan yang hemat tinta: bilangan berpangkat.

Gampangnya: angka kecil di kanan atas memberi tahu berapa kali angka besar dikalikan dengan dirinya sendiri. Jadi \(3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81\), bukan \(3 \times 4\).

Sekarang kita lihat mengapa Kak Lintang menyebut pangkat "licik". Kertas HVS biasa tebalnya sekitar 0,1 mm. Perhatikan apa yang terjadi bila lipatan terus ditambah.

Sepuluh lipatan pertama hanya menghasilkan setinggi gelas. Namun setiap lipatan berikutnya menggandakan semua yang sudah ada, sehingga pertumbuhannya makin lama makin buas. Pertumbuhan seperti ini disebut pertumbuhan eksponensial.

6.2Sifat-sifat pangkat: cukup hitung faktornya

Karena pangkat hanyalah "banyak faktor yang sama", semua sifatnya bisa ditemukan dengan menghitung faktor. Tidak ada yang perlu dihafal buta. Tonton animasi di bawah langkah demi langkah.

Sifat pertama juga bisa dilihat pada grafik. Pada kurva \(y = a^x\), menjumlahkan dua langkah di sumbu mendatar sama dengan mengalikan dua tinggi di sumbu tegak.

6.3Pangkat nol, pangkat negatif, dan pangkat pecahan

Definisi \(a^n\) tadi hanya masuk akal untuk \(n = 1, 2, 3, \dots\). Lalu apa arti "2 dikalikan dengan dirinya sendiri nol kali", atau "minus tiga kali"? Matematikawan memilih arti yang membuat pola dan sifat pangkat tetap berlaku. Mari kita tebak dulu.

Ingat tangganya: setiap turun satu pangkat, nilainya dibagi dua. Jadi pangkat nol menghasilkan 1, pangkat \(-1\) menghasilkan setengah, dan pangkat \(-2\) menghasilkan seperempat. Pangkat negatif membuat bilangan menjadi pecahan kecil, bukan bilangan negatif.

6.4Akar dan bentuk akar

Akar adalah kebalikan dari kuadrat. Jika sebuah ubin persegi luasnya 49 cm², sisinya 7 cm, karena \(7^2 = 49\). Kita menulisnya \(\sqrt{49} = 7\).

Cara membaca \(\sqrt{\;}\): "bilangan berapa yang kalau dikalikan dengan dirinya sendiri menghasilkan angka di dalam akar?" Misalnya \(\sqrt{64} = 8\) karena \(8 \times 8 = 64\).

Sifat pertama membuat kita bisa menyederhanakan bentuk akar: cari bilangan kuadrat terbesar yang membagi isi akar, lalu keluarkan. Contohnya \(\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = \sqrt{36} \times \sqrt2 = 6\sqrt2\). Lab di bawah memperlihatkan mengapa ini masuk akal: persegi seluas 72 bisa dipotong menjadi \(6 \times 6\) persegi kecil yang masing-masing luasnya 2.

6.5Merasionalkan penyebut

Coba hitung \(\dfrac{1}{\sqrt2}\) dengan tangan. Kamu harus membagi 1 dengan 1,41421…, pembagian yang menyiksa. Bandingkan dengan \(\dfrac{\sqrt2}{2}\): cukup bagi 1,41421 dengan 2, hasilnya 0,70711. Padahal keduanya bernilai sama! Mengubah penyebut berbentuk akar menjadi bilangan rasional disebut merasionalkan penyebut. Selain memudahkan hitungan, bentuk ini juga disepakati sebagai bentuk "rapi" sebuah jawaban.

Mengapa sekawan menghapus akar? Kalikan satu per satu: \((a + \sqrt b)(a - \sqrt b) = a^2 - a\sqrt b + a\sqrt b - (\sqrt b)^2 = a^2 - b\). Dua suku tengah saling menghapus. Kamu akan melihat pola \((x + y)(x - y) = x^2 - y^2\) ini lagi di bab aljabar.

6.6Notasi ilmiah dan angka penting

Jarak Bumi ke Matahari sekitar 149.600.000.000 m. Diameter sebuah virus sekitar 0,000 000 1 m. Menulis nol sebanyak itu melelahkan dan rawan salah hitung. Para ilmuwan memakai cara yang jauh lebih hemat.

Notasi ilmiah itu seperti singkatan. Angka di depan memberi tahu "berapa", dan pangkat 10 memberi tahu "berapa banyak nol". Jadi \(3 \times 10^6\) artinya 3 diikuti 6 nol: 3.000.000.

Dengan notasi ilmiah, kita bisa menyusun seluruh alam semesta pada satu penggaris: setiap anak tangga berarti 10 kali lebih besar. Jarak dari inti atom sampai alam semesta yang teramati hanya sekitar 42 anak tangga!

Satuan yang sering kamu jumpai sebenarnya adalah pangkat 10 yang menyamar sebagai awalan satuan:

Menghitung dengan notasi ilmiah sangat mudah karena sifat pangkat bekerja untuk kita. Saat mengalikan, kalikan angka depannya dan jumlahkan pangkatnya. Saat membagi, bagi angka depannya dan kurangkan pangkatnya. Terakhir, rapikan agar angka depan kembali di antara 1 dan 10:

Hasil pengukuran tidak pernah tepat sempurna. Penggaris berskala milimeter bisa mengukur 12,3 cm, tetapi tidak bisa memastikan 12,34 cm. Angka-angka yang benar-benar bermakna dalam hasil pengukuran disebut angka penting. Notasi ilmiah membuat banyaknya angka penting terlihat jelas: semua angka pada bagian \(a\) adalah angka penting.

Untuk membulatkan ke \(k\) angka penting, lihat angka ke-\((k+1)\): bulatkan ke atas jika angka itu 5 atau lebih. Contoh: 384.400 dibulatkan ke 2 angka penting menjadi 380.000 \(= 3{,}8 \times 10^5\), dan 0,004567 menjadi 0,0046. Saat mengalikan atau membagi hasil ukur, tulis hasilnya dengan banyak angka penting paling sedikit di antara bilangan yang dihitung. Misalnya \(2{,}5 \text{ cm} \times 3{,}47 \text{ cm} = 8{,}675 \text{ cm}^2\), ditulis \(8{,}7 \text{ cm}^2\) (2 angka penting, mengikuti 2,5).

7.1Variabel: kotak misteri

Mari bongkar trik Ancil. Kita tidak tahu bilangan pilihan Dimas, jadi kita tulis saja sebagai kotak misteri. Matematikawan biasanya memakai huruf, misalnya \(x\). Sekarang ikuti setiap perintah Ancil, dengan angka dan dengan kotak misteri:

Lihat kolom terakhir. Kotak misterinya lenyap pada langkah terakhir, dan yang tersisa hanya 5. Artinya, hasilnya 5 apa pun isi kotaknya: 7, satu juta, −3, atau ½. Ancil tidak membaca pikiran. Ia membaca aljabar!

Masih ingat teka-teki Ancil di akhir Bab 6? Kuadrat bilangan sesudahnya dikurangi kuadrat bilangan sebelumnya, lalu dibagi 4, dan hasilnya selalu bilangan awalmu. Trik itu bekerja dengan rahasia yang sama. Kita akan membongkarnya di subbab 7.6, setelah kamu punya alat yang tepat.

Bayangkan \(x\) seperti kotak kado yang masih tertutup. Kita belum tahu isinya, tetapi kita tetap bisa berhitung dengannya. Dua kotak yang sama ditambah 10 permen kita tulis \(2x + 10\). Kalau kotaknya dibuka dan isinya 7, nilainya \(2 \times 7 + 10 = 24\).

7.2Menyusun ekspresi dari cerita

Aljabar adalah sebuah bahasa. Seperti menerjemahkan bahasa Jawa ke bahasa Indonesia, kita bisa menerjemahkan cerita menjadi ekspresi. Kata "lebihnya" atau "ditambah" menjadi \(+\); "kurangnya" atau "selisih" menjadi \(-\); "kali", "lipat", atau "per" menjadi \(\times\); "dibagi" atau "setengah" menjadi \(\div\).

Perhatikan urutannya. "Lima kurangnya dari \(n\)" berarti \(n\) dikurangi 5. Kalau Dimas punya \(n\) kelereng dan Ayu punya lima kurangnya dari Dimas, kelereng Ayu \(n - 5\).

Ambil contoh ongkos ojek daring. Ada biaya dasar yang dibayar sekali di awal, lalu tarif untuk setiap kilometer. Jaraknya berubah-ubah, jadi jarak adalah variabel. Biaya dasar tidak ikut berubah: itulah konstanta. Tarif per km menempel di depan variabel jarak: itulah koefisien.

Ekspresi juga bisa lahir dari pola gambar. Pak Sastro membuat pagar bambu berpetak-petak. Satu petak butuh 4 batang, dua petak 7 batang, tiga petak 10 batang. Berapa batang untuk \(n\) petak? Ada banyak cara menghitungnya. Hebatnya, semua cara yang benar berujung pada ekspresi yang sama.

7.3Suku sejenis dan menyederhanakan

Di pasar, Bu Darmi menghitung belanjaan: 3 mangga, 2 salak, lalu 4 mangga lagi. Ia tidak menulis "9 buah campur", tetapi "7 mangga dan 2 salak". Mangga dijumlahkan dengan mangga, salak dengan salak. Aljabar bekerja persis seperti itu: \(3m + 2s + 4m = 7m + 2s\).

Ingat pasar: mangga dengan mangga, salak dengan salak. Suku \(x\) dikumpulkan dengan suku \(x\), suku \(x^2\) dengan suku \(x^2\), dan angka biasa dengan angka biasa.

7.4Ekspansi: sifat distributif dan model luas

Bagaimana menghitung \(7 \times 104\) di luar kepala? Pecah 104 menjadi \(100 + 4\): tujuh kali seratus ditambah tujuh kali empat, yaitu \(700 + 28 = 728\). Kamu baru saja memakai aturan terpenting dalam aljabar.

Contohnya, \(3(2x + 5) = 6x + 15\) dan \(x(x - 4) = x^2 - 4x\). Pengali di luar kurung harus "mengetuk pintu" setiap suku di dalam kurung, tanpa ada yang terlewat.

7.5Faktorisasi: membungkus kembali

Ekspansi itu seperti membuka bungkusan: \(3(2x + 5)\) dibuka menjadi \(6x + 15\). Faktorisasi adalah kebalikannya, yaitu membungkus kembali sebuah jumlah menjadi perkalian. Caranya, cari sesuatu yang dimiliki semua suku, lalu keluarkan ke depan kurung.

1. Cari FPB dari semua koefisien.
2. Cari variabel yang muncul di setiap suku, ambil pangkat terkecilnya.
3. Bagi setiap suku dengan faktor persekutuan itu, lalu tulis hasilnya di dalam kurung.
4. Cek dengan mengekspansi kembali. Hasilnya harus sama dengan soal semula.

Contoh gampang: \(10x + 15\). Angka 10 dan 15 sama-sama habis dibagi 5. Keluarkan 5 ke depan: \(5(2x + 3)\). Cek: \(5 \times 2x = 10x\) dan \(5 \times 3 = 15\) ✓.

Kembalilah ke Lab Ubin di atas dan pilih Teka-teki faktor. Kamu diberi ekspresi seperti \(x^2 + 5x + 6\) dan harus menyusunnya menjadi persegi panjang \((x + a)(x + b)\). Itu faktorisasi dengan tangan! Di Bab 11 kamu akan memfaktorkan bentuk seperti ini secara sistematis.

7.6Trik sulap bilangan dibongkar aljabar

Setiap trik "pikirkan sebuah bilangan" bekerja dengan cara yang sama: perintah-perintahnya disusun agar kotak misteri \(x\) lenyap (hasilnya selalu sama) atau mudah dibongkar (hasilnya bisa diubah kembali menjadi bilanganmu). Lab berikut menggambarkan \(x\) sebagai kantong misteri dan konstanta sebagai permen.

Kita juga bisa melihat trik yang sama sebagai grafik. Untuk setiap bilangan awal, gambar titik (bilangan awal; nilai sekarang). Semua titik itu membentuk garis. Saat trik berjalan, garisnya berputar, naik, lalu rebah mendatar, tanda bahwa hasilnya tidak lagi bergantung pada bilangan awal.

Identitas cerdik untuk berhitung kilat

Ada satu identitas lagi yang membuat orang mengira kamu kalkulator berjalan. Potong persegi kecil dari pojok persegi besar, lalu susun ulang sisanya:

8.1Persamaan adalah timbangan yang seimbang

Di Bab 7 kamu belajar menulis ekspresi seperti \(3x + 2\). Begitu ekspresi itu diberi tanda sama dengan, misalnya \(3x + 2 = 11\), ia berubah menjadi sebuah persamaan: kalimat yang menyatakan bahwa dua ruas bernilai sama, persis seperti dua piring timbangan yang seimbang.

Bayangkan kantong gula yang beratnya belum kamu ketahui. Huruf \(x\) adalah nama untuk berat itu. Menyelesaikan persamaan artinya menemukan isi kantong tanpa merobeknya, cukup dengan menambah atau mengambil benda di timbangan.

Bagaimana cara menemukan penyelesaian tanpa menebak-nebak? Timbangan memberi kita aturan yang sangat sederhana.

8.2Menyelesaikan persamaan: membuka bungkus kado

Perhatikan persamaan \(3x + 5 = 20\). Bayangkan \(x\) adalah hadiah yang dibungkus dua lapis: mula-mula dikali 3, lalu ditambah 5. Untuk mengambil hadiahnya, kita membuka bungkus dari lapisan terluar dengan operasi invers (kebalikan): kebalikan "tambah 5" adalah "kurangi 5", dan kebalikan "kali 3" adalah "bagi 3".

Kalau langkah ini dilakukan pada bentuk umum \(ax + b = c\), hasilnya adalah sebuah rumus. Geser slidernya dan lihat setiap langkah ikut berubah.

Variabel di kedua ruas

Bagaimana kalau kantong misteri ada di kedua piring, seperti \(3x + 4 = x + 10\)? Strateginya tetap sama: ambil benda yang sama dari kedua piring sampai semua kantong berkumpul di satu sisi dan semua kotak di sisi lain. Ikuti animasinya.

Saat variabel ada di kedua ruas, kumpulkan suku \(x\) di ruas yang koefisiennya lebih besar. Dengan begitu koefisien \(x\) tetap positif dan kamu terhindar dari kesalahan tanda.

8.3Persamaan dengan kurung dan pecahan

Persamaan di dunia nyata jarang serapi \(ax + b = c\). Ada kurung, ada pecahan, ada desimal. Kabar baiknya: semuanya bisa "dirapikan" dulu menjadi bentuk \(ax + b = c\), lalu diselesaikan seperti biasa.

Kurung dibuka dengan sifat distributif yang kamu pelajari di Bab 7. Misalnya \(4(x - 3) - 2(x + 1) = 10\) menjadi \(4x - 12 - 2x - 2 = 10\), yaitu \(2x - 14 = 10\), sehingga \(2x = 24\) dan \(x = 12\). Perhatikan tanda minus di depan kurung kedua: \(-2(x + 1) = -2x - 2\).

Pecahan paling mudah diusir dengan mengalikan kedua ruas dengan KPK penyebut. Bentuk desimal pun begitu: \(0{,}2x + 1{,}5 = 0{,}5x - 0{,}3\) dikali 10 menjadi \(2x + 15 = 5x - 3\), sehingga \(18 = 3x\) dan \(x = 6\).

Pecahan itu seperti potongan kue yang tidak sama besar. Kalau semua suku dikali KPK penyebutnya, semua potongan berubah menjadi kue utuh, dan persamaannya jadi jauh lebih ramah.

Ada kejutan kecil. Tidak semua persamaan linear punya tepat satu penyelesaian. Setelah dirapikan, sebuah persamaan bisa berakhir dengan tiga "nasib" berbeda:

8.4Dari soal cerita ke model matematika

Soal cerita sering terasa menakutkan, padahal isinya hanya persamaan yang sedang menyamar. Tugasmu adalah membuka penyamarannya. Kak Lintang punya resep empat langkah.

Coba bacakan soalnya keras-keras, lalu ganti kata "berapa" dengan huruf \(x\). Sering kali kalimat itu langsung berubah menjadi persamaan.

8.5Pertidaksamaan dan garis bilangan

Jika KKM ulangan 75, nilai berapa yang tuntas? Bukan hanya 75. Nilai 76, 80, 92,5, bahkan 100 semuanya tuntas. Kalimat "nilai paling sedikit 75" adalah sebuah pertidaksamaan: \(n \ge 75\). Berbeda dengan persamaan, penyelesaian pertidaksamaan biasanya berupa daerah yang berisi tak hingga banyak bilangan. Daerah itu paling jelas digambar di garis bilangan.

Bulatan kosong berarti bilangan batas tidak ikut (tanda \(<\) atau \(>\)); bulatan penuh berarti ikut (tanda \(\le\) atau \(\ge\)).

Menyelesaikan pertidaksamaan hampir sama dengan menyelesaikan persamaan: tambah, kurang, kali, atau bagi kedua ruas. Hampir sama, karena ada satu perbedaan penting. Tebak dulu!

Lab berikut menguji setiap bilangan bulat dari \(-10\) sampai 10 sekaligus. Perhatikan bagaimana bilangan yang lolos selalu membentuk satu daerah utuh, dan bagaimana arah daerah itu berbalik ketika \(a\) negatif.

Mengapa tandanya berbalik? Ada cara pandang lain yang sangat indah. Ruas kiri \(ax + b\) dapat digambar sebagai sebuah garis, dan ruas kanan \(c\) sebagai garis datar. Menyelesaikan \(ax + b > c\) artinya mencari semua \(x\) yang membuat garis miring berada di atas garis datar.

Pertidaksamaan ganda seperti \(-7 < 2n + 3 \le 9\) diselesaikan dengan memperlakukan ketiga bagiannya sekaligus: kurangi semuanya dengan 3 (\(-10 < 2n \le 6\)), lalu bagi semuanya dengan 2 (\(-5 < n \le 3\)). Tanda pertidaksamaan "<" dan ">" sendiri dipopulerkan oleh Thomas Harriot dari Inggris; bukunya terbit pada tahun 1631, sepuluh tahun setelah ia wafat.

8.6Nilai mutlak: persamaan tentang jarak

Ancil berdiri di titik 0 garis bilangan. Ayu berdiri 3 langkah di kanannya, Dimas 3 langkah di kirinya. Posisi mereka berbeda (\(3\) dan \(-3\)), tetapi jaraknya ke Ancil sama, yaitu 3. Jarak inilah yang disebut nilai mutlak.

Nilai mutlak itu seperti meteran: ia hanya peduli seberapa jauh, tidak peduli ke kiri atau ke kanan. Karena itu hasilnya tidak pernah negatif.

Nilai mutlak sangat berguna untuk menyatakan toleransi. Misalnya, kemasan gula "1 kg" dianggap layak jika massanya \(m\) gram meleset paling banyak 10 gram: \(|m - 1000| \le 10\), yaitu \(990 \le m \le 1010\). Prakiraan suhu BMKG "27 °C ± 2 °C" juga berarti \(|T - 27| \le 2\).

9.1Bidang Kartesius: alamat setiap titik

Setiap kursi di gedung bioskop punya alamat, misalnya "baris F, kursi 12". Tanpa alamat itu, kamu bisa duduk di kursi orang lain! Matematikawan memberi alamat untuk setiap titik di bidang datar dengan cara yang mirip: dua garis bilangan yang berpotongan tegak lurus.

Bayangkan kamu berdiri di titik \(O\). Untuk sampai ke titik \(A(4, 3)\), berjalanlah 4 langkah ke kanan, lalu 3 langkah ke atas. Kalau angkanya negatif, berbaliklah: ke kiri atau ke bawah. Itu saja rahasianya!

9.2Relasi dan fungsi: mesin yang taat aturan

Bayangkan sebuah mesin minuman: kamu memasukkan uang dan menekan satu tombol, lalu keluar tepat satu minuman. Kalau mesin itu kadang mengeluarkan teh dan kadang kopi untuk tombol yang sama, kamu pasti kesal. Matematikawan menyebut mesin yang taat aturan seperti itu fungsi.

Ada cara cepat untuk mengecek apakah sebuah grafik menggambarkan fungsi: geser sebuah garis tegak dari kiri ke kanan. Kalau garis itu pernah memotong grafik di dua titik atau lebih, berarti ada satu \(x\) yang punya dua keluaran. Itu bukan fungsi!

Di antara semua fungsi, ada satu keluarga yang paling sederhana dan paling sering dipakai: fungsi yang grafiknya garis lurus.

Perhatikan selisih pada baris \(g(x) = x^2\): 1, 3, 5, 7, yaitu bilangan ganjil berurutan! Pola indah itu akan kamu temui lagi di bab parabola. Untuk sekarang, ingat saja: selisih tetap berarti linear.

9.3Gradien: seberapa curam sebuah garis?

Naik tangga rumah terasa biasa saja, tetapi naik tangga menara mercusuar membuat napas ngos-ngosan. Bedanya ada pada kecuraman. Dalam matematika, kecuraman garis diukur dengan satu angka bernama gradien (kemiringan), biasanya dilambangkan \(m\).

Gampangnya, gradien itu seperti anak tangga. Kalau setiap kali maju 1 langkah kamu harus naik 2 anak tangga, gradiennya 2. Kalau setiap maju 1 langkah kamu justru turun, gradiennya negatif. Jalan datar? Gradiennya 0.

Di jalan raya, gradien biasanya ditulis dalam persen: kemiringan \(= m \times 100\%\). Jalan yang naik 8 m untuk setiap 100 m jarak mendatar punya gradien \(0{,}08\), atau tanjakan 8%.

Jalan di pegunungan tidak bisa dibuat lurus menuju puncak, karena gradiennya akan terlalu besar. Di Kelok 44, Kabupaten Agam, Sumatera Barat, jalan dari tepi Danau Maninjau mendaki bukit lewat 44 tikungan tajam. Mengapa harus berkelok sebanyak itu? Cobalah sendiri.

9.4Persamaan garis \(y = mx + c\)

Sebuah garis lurus cukup dikenali dengan dua informasi: di mana ia memotong sumbu-y dan seberapa curam ia. Dua angka itu tertulis jelas dalam persamaannya.

Kalau diberi persamaan, kamu bisa menggambar garisnya tanpa membuat tabel. Mulai dari \(c\), lalu melangkah dengan \(m\):

Kalau rumusnya terasa ramai, pegang dua hal saja: \(c\) adalah titik mulai di sumbu-y, dan \(m\) adalah cara melangkah. Mulai, lalu melangkah. Mulai, lalu melangkah.

9.5Garis sejajar dan garis tegak lurus

Rel kereta api tidak pernah bertemu: kedua relnya sejajar. Pojok buku membentuk sudut siku-siku: kedua sisinya tegak lurus. Gradien bisa mendeteksi kedua hubungan itu tanpa busur derajat.

9.6Model linear di dunia nyata

Banyak hal di sekitarmu berubah dengan laju tetap: tarif per km, kuota yang terpakai per hari, suhu yang turun setiap kali kita mendaki. Setiap kali ada laju tetap, ada garis lurus yang menunggu digambar. Dalam model linear \(y = mx + c\):

• \(c\) adalah nilai awal, yaitu nilai \(y\) ketika \(x = 0\) (biaya awal, kuota awal bulan, suhu di tepi pantai);
• \(m\) adalah laju perubahan: berapa \(y\) berubah setiap kali \(x\) bertambah 1 (rupiah per km, GB per hari, °C per meter).

Data nyata jarang tepat segaris. Ayu mengukur tinggi kecambah kacang hijau setiap hari selama seminggu. Titik-titiknya hampir segaris. Garis mana yang paling mewakili data itu?

10.1Dua persamaan, dua misteri

Kembali ke warung tenda. Misalkan \(x\) = harga satu porsi pecel lele dan \(y\) = harga satu gelas es teh, keduanya dalam ribu rupiah. Pesanan Dimas menjadi persamaan

Persamaan ini punya banyak penyelesaian. Kalau pecel lele 18 ribu dan es teh 2 ribu: \(2 \cdot 18 + 3 \cdot 2 = 42\). Cocok! Kalau pecel lele 9 ribu dan es teh 8 ribu: \(18 + 24 = 42\). Cocok juga! Satu persamaan seperti saksi yang hanya ingat sebagian cerita.

Petunjuk kedua datang dari Ayu: \(3x + 2y = 53\). Mari kita uji beberapa harga pecel lele dan lihat harga es teh yang cocok untuk masing-masing pesanan.

Perhatikan selisihnya mengecil 2,5 setiap baris, lalu tepat nol di \(x = 15\). Hanya satu pasangan yang lolos kedua tes: pecel lele Rp15.000 dan es teh Rp4.000. Dua persamaan yang harus dipenuhi bersama seperti ini disebut sistem persamaan.

Gampangnya: satu persamaan = satu petunjuk. Dua misteri butuh dua petunjuk. Jawabannya harus cocok dengan kedua petunjuk sekaligus, seperti satu kunci yang harus pas di dua gembok.

10.2Metode grafik: cari titik potongnya

Di Bab 9 kamu belajar bahwa persamaan seperti \(y = 2x + 8\) atau \(2x + 3y = 42\) bergambar garis lurus. Setiap titik pada garis adalah satu penyelesaian persamaan itu. Jadi penyelesaian sebuah sistem adalah titik yang berada di kedua garis sekaligus, yaitu titik potong keduanya.

Gampangnya: gambar dua garis di kertas berpetak. Titik tempat keduanya bertemu adalah jawabannya.

Ingat teka-teki penutup Bab 9 tentang dua tarif ojek? Misalkan aplikasi A memasang biaya buka Rp8.000 ditambah Rp2.000 per km, sedangkan aplikasi B Rp4.000 ditambah Rp3.000 per km. Dengan \(x\) = jarak (km) dan \(y\) = tarif (ribu rupiah):

Kedua garis berpotongan di \((4, 16)\). Artinya, untuk perjalanan 4 km kedua aplikasi sama-sama memasang tarif Rp16.000. Titik seperti ini disebut titik impas. Di kiri titik impas garis B lebih rendah (B lebih murah); di kanannya garis A lebih rendah. Jadi kunci teka-teki Bab 9 adalah titik potong kedua garis. Untuk ojek Kilat (\(T = 8.000 + 2.500x\)) dan Hemat (\(T = 5.000 + 3.000x\)), titik potongnya \((6,\ 23.000)\): keduanya sama mahal, Rp23.000, untuk perjalanan 6 km.

10.3Metode substitusi: jurus barter

Grafik memberi gambaran, aljabar memberi jawaban persis. Cara aljabar pertama adalah substitusi, artinya mengganti. Kak Lintang menyebutnya jurus barter: kalau satu variabel bisa "dihargai" memakai variabel lain, tukarkan saja!

1. Dari salah satu persamaan, nyatakan satu variabel dalam variabel lain. Pilih variabel yang koefisiennya 1 agar tidak muncul pecahan.
2. Substitusikan (ganti) ke persamaan yang lain, sehingga tinggal satu variabel.
3. Selesaikan persamaan satu variabel itu.
4. Masukkan hasilnya ke persamaan langkah 1 untuk mendapat variabel kedua.
5. Cek jawaban ke kedua persamaan.

Teka-teki sistem persamaan yang paling terkenal di dunia berumur lebih dari seribu tahun: hewan berkaki dua dan berkaki empat di dalam satu kandang.

Dengan substitusi: misalkan \(a\) = banyak ayam dan \(k\) = banyak kambing. Kepala: \(a + k = 10\), jadi \(a = 10 - k\). Kaki: \(2a + 4k = 28\). Substitusi: \(2(10 - k) + 4k = 28 \Rightarrow 20 + 2k = 28 \Rightarrow k = 4\), lalu \(a = 6\).

Ancil punya cara yang jauh lebih jenaka. Ia meniup peluit ajaib: "Semua hewan, angkat dua kaki!" Ayam langsung duduk (kedua kakinya terangkat), sedangkan kambing berdiri dengan dua kaki belakang. Kaki yang masih menapak tanah tinggal \(28 - 2 \times 10 = 8\), dan semuanya milik kambing, masing-masing dua. Jadi kambingnya \(8 : 2 = 4\) ekor.

10.4Metode eliminasi: buat satu misteri lenyap

Substitusi cocok jika ada variabel berkoefisien 1. Bagaimana kalau semua koefisiennya "repot", seperti \(2x + 3y = 42\) dan \(3x + 2y = 53\)? Gunakan eliminasi: jumlahkan atau kurangkan kedua persamaan sehingga satu variabel lenyap.

Mengapa boleh? Bayangkan dua timbangan yang sama-sama seimbang. Kalau isi piring kiri keduanya digabung dan isi piring kanan keduanya juga digabung, hasilnya tetap seimbang. Persamaan pun begitu: ruas kiri + ruas kiri = ruas kanan + ruas kanan.

Gampangnya: eliminasi artinya "menghilangkan". Kita menggabungkan dua petunjuk dengan cerdik sampai satu misteri hilang, sehingga misteri yang tersisa mudah ditemukan.

Ancil menunjukkan trik yang sangat cantik untuk pesanan pecel lele. Ikuti langkahnya:

Trik Ancil hanya bekerja untuk koefisien yang "bertukar tempat". Cara umumnya: kalikan setiap persamaan dengan bilangan yang tepat sehingga koefisien salah satu variabel sama besar, lalu kurangkan (jika tandanya sama) atau jumlahkan (jika tandanya berlawanan).

Lalu masukkan \(y = 4\) ke \(2x + 3y = 42\): \(2x = 30\), jadi \(x = 15\). Sama dengan hasil trik Ancil, tentu saja!

Kalau eliminasi dikerjakan sekali untuk koefisien huruf (bukan angka), kita mendapat rumus siap pakai untuk semua SPLDV.

10.5Satu, tak hingga, atau tidak ada?

Dua garis lurus di bidang hanya punya tiga kemungkinan nasib: berpotongan, sejajar, atau berimpit (menumpuk menjadi satu garis).

10.6SPLTV: tiga misteri sekaligus

Bagaimana kalau misterinya tiga, misalnya harga bakso, mie ayam, dan es jeruk? Kita butuh tiga petunjuk, yaitu sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV). Strateginya seperti corong: kurangi banyak variabel satu per satu.

Gampangnya: tiga misteri butuh tiga petunjuk. Hilangkan satu misteri dulu sampai tinggal dua, lalu kerjakan seperti SPLDV yang sudah kamu kuasai.

10.7Program linear: mencari yang terbaik

Di dunia nyata, sering kali yang kita cari bukan "sama dengan", melainkan "paling banyak" atau "paling hemat". Kelas Ayu membuka stan bazar. Mereka menjual \(x\) porsi nasi kuning (modal Rp10.000, untung Rp4.000 per porsi) dan \(y\) gelas es buah (modal Rp5.000, untung Rp3.000 per gelas). Modal yang tersedia Rp600.000, dan meja hanya muat 80 wadah.

• Syarat modal (ribu rupiah): \(10x + 5y \le 600\), atau \(2x + y \le 120\).
• Syarat meja: \(x + y \le 80\). Tentu juga \(x \ge 0\) dan \(y \ge 0\).
• Yang ingin dibuat sebesar mungkin: untung \(U = 4x + 3y\) (ribu rupiah), disebut fungsi tujuan.

Semua titik yang memenuhi syarat membentuk daerah layak. Pojok-pojoknya adalah titik potong garis batas, dan untuk menemukannya kita menyelesaikan SPLDV!

11.1Dari luas sawah ke persegi \(x^2\)

Pak Darto punya sawah berbentuk persegi panjang. Panjangnya 5 m lebih panjang daripada lebarnya, dan luasnya 150 m². Berapa lebar sawah itu?

Misalkan lebarnya \(x\) meter. Panjangnya \(x + 5\), sehingga luasnya \(x(x + 5) = 150\). Kalau dijabarkan: \(x^2 + 5x = 150\), atau \(x^2 + 5x - 150 = 0\). Ada suku \(x^2\) di situ. Inilah sebuah persamaan kuadrat.

Gampangnya: persamaan kuadrat adalah persamaan yang pangkat tertinggi variabelnya dua. Contoh paling sederhana \(x^2 = 25\): cari bilangan yang kalau dikuadratkan hasilnya 25. Jawabannya 5, tetapi \(-5\) juga, karena \((-5) \times (-5) = 25\). Itulah sebabnya persamaan kuadrat sering punya dua jawaban.

Sebelum membaca \(a\), \(b\), dan \(c\), pindahkan dulu semua suku ke ruas kiri sehingga ruas kanan bernilai nol.

Kembali ke bola Dimas. Ketinggian \(h = vt - 5t^2\) adalah ekspresi kuadrat dalam \(t\). Pertanyaan "kapan bola setinggi \(H\)?" menjadi persamaan kuadrat \(5t^2 - vt + H = 0\). Mainkan grafik di bawah dan perhatikan: garis mendatar setinggi \(H\) memotong lintasan bola di dua titik, satu titik, atau tidak sama sekali.

11.2Pemfaktoran: kalau hasil kali sama dengan nol…

Kak Lintang memberi petunjuk di komik: kalau dua bilangan dikalikan hasilnya nol, salah satunya pasti nol. Tidak ada cara lain! Sifat sederhana ini adalah kunci menyelesaikan banyak persamaan kuadrat.

Strateginya: tulis \(x^2 + bx + c\) sebagai perkalian \((x + m)(x + n)\). Kalau dijabarkan, \((x + m)(x + n) = x^2 + (m + n)x + mn\). Jadi kita mencari dua bilangan yang jumlahnya \(b\) dan hasil kalinya \(c\).

Bayangkan bermain tebak-tebakan: "Aku memikirkan dua bilangan. Kalau dikali hasilnya 12, kalau dijumlah hasilnya 7. Bilangan apa?" Jawabannya 3 dan 4. Itulah seluruh rahasia pemfaktoran!

Bagaimana kalau \(a \ne 1\), misalnya \(2x^2 + 7x + 3 = 0\)? Gunakan trik pecah suku tengah: cari dua bilangan yang jumlahnya \(b\) dan hasil kalinya \(a \times c\).

11.3Melengkapkan kuadrat: menambal ubin yang hilang

Tidak semua persamaan kuadrat mudah difaktorkan. Coba \(x^2 + 6x - 2 = 0\): tidak ada dua bilangan bulat yang hasil kalinya \(-2\) dan jumlahnya 6. Untuk kasus seperti ini ada trik berumur lebih dari seribu tahun: ubah ruas kiri menjadi persegi sempurna.

Lihat sendiri cara al-Khwarizmi menyelesaikan soalnya yang terkenal: persegi ditambah sepuluh akarnya sama dengan 39, yaitu \(x^2 + 10x = 39\).

11.4Rumus abc: satu rumus untuk semua

Kalau trik melengkapkan kuadrat diterapkan pada bentuk umum \(ax^2 + bx + c = 0\), kita mendapat satu rumus yang selalu berhasil. Di Indonesia rumus ini akrab disebut rumus abc.

Rumus abc itu seperti resep masakan: masukkan tiga bahan (\(a\), \(b\), \(c\)), ikuti langkahnya, dan dua akar pun matang. Tidak perlu menebak-nebak pasangan bilangan.